$n > 1$장의 카드로 이루어진 카드 묶음이 하나 있다. 각각의 카드에는 양의 정수가 하나 적혀있다. 이 카드 묶음은 다음 성질을 만족한다: 임의의 한 쌍의 카드에 적혀있는 두 수의 산술평균은 이 카드묶 음 내의 한 장 또는 여러 장의 카드에 적혀있는 수들의 기하평균과 같다.
어떤 $n$에 대하여, 카드에 있는 수가 항상 모두 같아야할까?
경시대회 모음 : 국제대회
2020 국제수학올림피아드 6번문제
다음 조건을 만족하는 양의 상수 $c$가 존재함을 보여라.
정수 $n > 1$에 대하여, 임의의 두 점 사이의 거리가 $1$ 이상인 $n$개의 평면 위의 점으로 이루어진 집합
$S$를 생각하자. 어떤 직선 $\ell$이 존재하여, $S$를 두 집합으로 나누고 $S$의 각 점으로부터 $\ell$까지의 거리가 $cn^{−1/3}$ 이상이다.
(직선 $\ell$이 점의 집합 $S$를 나눈다는 것은 $S$에 속하는 어떤 두 점을 연결하는 선분이 $\ell$과 만난다는 것이다.)
Note. $cn^{−1/3}$인 경우 대신 이보다 약한 결과인 $cn^{−\alpha}$인 경우에 대해 보인 경우, 상수 $\alpha > 1/3$의 값에 따라 부분점수가 주어질 수 있다.
2019 국제수학올림피아드
응답
2019년 7월 16일-17일. 영국 Bath. 제60회 국제수학올림피아드.
2019 국제수학올림피아드 1번문제
모든 정수의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 정수 $a$, $b$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라. \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]
2019 국제수학올림피아드 2번문제
삼각형 $ABC$의 두 변 $BC$, $AC$ 위에 각각 점 $A_1$, $B_1$이 있다. 두 점 $P$, $Q$는 각각 선분 $AA_1$, $BB_1$ 위에 있고 $PQ$는 $AB$와 평행하다. 점 $P_1$은 직선 $PB_1$ 위에 있고 $B_1$은 $P$와 $P_1$ 사이에 있으며 ($B_1\neq P, P_1$), $\angle PP_1C=\angle BAC$이다. 이와 유사하게 점 $Q_1$은 직선 $QA_1$ 위에 있고 $A_1$은 $Q$와 $Q_1$ 사이에 있으며 ($A_1\neq Q, Q_1$), $\angle CQ_1Q=\angle CBA$이다. 이때, 네 점 $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$이 한 원 위에 있음을 보여라.
2019 국제수학올림피아드 3번문제
한 SNS망 안에 2019명의 이용자가 있고, 그들 사이에 어떤 친구관계가 존재한다. 이용자 A가 이용자 B와 친구관계이면, B도 A와 친구관계이다. 다음과 같은 이벤트가 반복적으로 시행된다고 하자.
세 명의 이용자 A, B, C에 대하여 A가 B, C와 친구관계이고 B와 C는 친구관계가 아닌 경우, 다음과 같이 친구관계를 바꾼다. B와 C는 친구관계가 되도록 하고, A와 B는 친구관계가 안 되고, A는 C와도 친구관계가 안 되도록 한다. 이때, 그 외의 친구관계는 바뀌지 않는다.
처음 단계에서, 1010명의 이용자 각각은 1009명의 이용자와 친구관게이고, 나머지 1009명의 이용자 각각은 1010명의 이용자와 친구관계라 하자. 위와 같은 이벤트를 계속 시행하여, 결국에는 모든 이용자들이 각각 한 명 이하의 이용자와 친구관계가 되도록 하는 일련의 이벤트가 존재함을 보여라.