$m$은 2 이상의 정수이다. $A$는 (양수일 필요가 없는) 정수들로 구성된 유한 집합이고, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\ldots$, $B_m$은 $A$의 부분집합들이다. 각각의 $k = 1,2,\ldots,m$에 대하여 $B_k$의 모든 원소의 합이 $m^k$이다. 이때 $A$가 적어도 $m/2$개의 원소를 포함함을 보여라.
경시대회 모음 : 국제대회
2020 국제수학올림피아드
응답
2020 국제수학올림피아드 1번문제
볼록사각형 $ABCD$의 내부에 한 점 $P$가 있도, 다음 비례식이 성립한다. \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]
이때 다음 세 직선이 한 점에서 만남을 보여라: 각 $\angle ADP$, $\angle PCB$의 내각의 이등분선, 선분 $AB$의 수직이등분선.
2020 국제수학올림피아드 2번문제
실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 부등식 $a\ge b\ge c\ge d>0$와 등식 $a+b+c+d=1$을 만족한다. 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]
2020 국제수학올림피아드 3번문제
서로 무게가 다른 조약돌 $4n$개가 있고 각 조약돌의 무게는 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $4n$ 중 하나이다. 각 조약돌은 $n$개의 색 중 하나로 색칠되어 있고, 같은 색을 가진 조약돌은 정확히 4개씩 있다. 이 때 다음 두 조건을 모두 만족하도록 조약돌을 두 개의 그룹으로 나눌 수 있음을 보여라.
- 각 그룹의 조약돌의 무게의 총합은 서로 같다.
- 각 그룹에는 각각의 색에 대하여 그 색으로 색칠된 조약돌이 정확히 2개 있다.
2020 국제수학올림피아드 4번문제
정수 $n > 1$이 있다. 한 산의 오르막에 $n^2$개의 역이 있고, 역들은 서로 다른 높이에 있다. 두 개의 케이블카 회사 A 와 B는 각각 $k$개의 케이블카를 운행한다. 각각의 케이블카는 낮은 위치에 있는 역에서 출발하여 더 높은 위치에 있는 역까지 운행한다. (중간에 멈추지 않는다.) A 회사 에서 운행하는 $k$개의 케이블카는 $k$개의 서로 다른 역에서 출발하여 서로 다른 $k$개의 역까지 운행하고, 더 높은 곳에서 출발한 케이블카는 더 높은 곳까지 운행한다. B 회사가 운행하는 케이블카도 같은 조건으로 운행한다. 두 역이 어떤 회사에 의해 연결된다는 것은 한 회사에서 운행하는 하나 또는 여러 개의 케이블카를 이용하 여 이 두 역 중 낮은 위치에 있는 역에서 높은 위치에 있는 역까지 이동할 수 있다는 것이다. (역들 사이의 다 른 이동은 허용되지 않는다)
두 회사 모두에 의해 연결되는 두 역이 항상 존재하는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하여라.