2017 제9회 베네룩스수학올림피아드

2017년 5월 5일-7일. 벨기에 Namur. 홈페이지

문제 출처

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모든 양의 유리수 $x$, $y$에 대하여 \[ f(xy)\cdot \operatorname{gcd} (f(x)f(y),f(\frac1x)f(\frac1y))=xyf(\frac1x)f(\frac1y)\]를 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb Z_{>0}$을 구하여라. 단, $\mathbb Q_{>0}$은 양의 유리수의 집합이며 $\mathbb Z_{>0}$은 양의 정수의 집합이다.

정수 $n\ge2 $이 있다. 총 $n$개의 섬으로 구성된 어떤 나라에서 엘리스와 밥이 아래와 같은 게임을 한다. 이 섬 중 정확히 두 섬만 공장을 가지고 있다. 처음에 이 나라에는 다리가 하나도 없다. 엘리스와 밥은 돌아가면서 각자 자기 차례가 되면 서로 다른 두 섬 $I_1$, $I_2$를 골라 그 사이에 다리를 놓는데, 아래 두 조건을 반드시 만족시켜야 한다.

  • 기존에 $I_1$과 $I_2$ 사이에는 다리가 없었다.
  • $I_1$과 $I_2$ 중 적어도 하나의 섬에서는 다리를 여러 번 지나서 공장이 있는 섬으로 이동할 수 있다 (혹은 그 섬에 공장이 있다). (즉, 다리를 짓기 위해서는 공장으로 이동할 수 있는 길이 있어야 한다.)

한 공장에서 다른 공장으로 이동할 수 있도록 다리가 연결되는 순간 마지막 다리를 놓은 사람이 진다. 엘리스가 먼저 시작하는 경우 각 $n\ge2$에 대하여 누가 필승 전략을 가지고 있는지 결정하라. (단, 다리가 다른 다리 위로 지나가도록 건설할 수 있다.)

볼록사각형 $ABCD$에서 $\angle B=\angle C$이고 $\angle D=90^\circ$이다. 만일 $\lvert AB\rvert=2\lvert CD\rvert$이면, $\angle ACB$의 각이등분선이 $CD$와 수직으로 만난다는 것을 보여라.

정수 $n\ge 2$에 대하여 가로 $n$칸, 세로 $n$칸 총 $n^2$칸으로 구성된 바둑판 형태의 판의 각 칸에 아래 두 조건을 모두 만족하도록 양의 정수가 적혀 있을때 그것을 베네룩스 $n$바둑판이라고 부르자.

  • $n^2$개 양의 정수 각각이 서로 다르다.
  • 어떤 행이나 열에 속한  $n$개의 수의 최대공약수를 구하여 얻은 $2n$개의 수가 모두 서로 다르다.

(a) 베네룩스 $n$바둑판에는 항상 $2n^2$ 이상의 수가 적힌 칸이 존재함을 보여라.

(b) 모든 칸에 적힌 수가 $2n^2$ 이하인 베네룩스 $n$바둑판을 극소라고 부르자. 극소인 베네룩스 $n$바둑판이 존재할 모든 $n\ge 2$를 구하라.

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