임의의 함수 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$에 대해 다음과 같은 함수 $\Phi_f:\mathbb{R}^2\to[-\infty,\infty]$를 생각하자.
\[\text{모든 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$에 대해 } \Phi_f(x,y)=\limsup_{z\to y} f(x,z).\]
a) $f$가 Lebesgue measurable이면 $\Phi_f$ 역시 Lebesgue measurable인가?
b) $f$가 Borel measurable이면 $\Phi_f$ 역시 Borel measurable인가?

$n$차원 공간 상에 부피가 1인 convex 집합 $K$가 있다. $K$의 부분집합으로 Lebesgue measurable하면서 그 measure가 $1-\epsilon$ 이상인 집합 $S$를 생각하자. (단, $0<\epsilon<1/3$.)
이때 $K$를 그 무게중심에서 $2\epsilon \ln (1/\epsilon)$배로 팽창시키면 그 안에 $S$의 무게중심이 있음을 보여라.