양의 정수 $n$과 함수 $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$에 대하여 \[ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)e^x}{(x-1)^{n+1}}\]를 만족하도록 다항식 $P_n(x)$를 정의하자. 이 때, $P_n(1)$과 $P_n'(1)$을 구하여라.
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2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 8번문제
두 번 미분가능한 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $f(0)=0$이고 다음 조건을 만족할 때, $f(1)=0$임을 보여라.
\[ (f'(x))^2 \le f(x)f”(x), \quad \forall x\in [0,1].\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)