2014년 11월 15일 (10:00-13:00) 8문제
제1분야: 수학전공 학생 대상, 제2분야: 기타
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다음 극한값을 계산하여라. \[ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{1}{n!} \right)^{\frac{1}{n\log n}}.\]
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$와 $B$가 주어져 있다. 다음 $2n\times 2n$ 실행력 \[C_t=\begin{pmatrix} A & t^2 B\\ B&A\end{pmatrix}\]는 $\det(C_t)=\det(A+tB)\det(A-tB)$를 만족함을 보여라 (단, $t$는 실수).
다음 조건을 만족하는 연속함수 $f:[0,\infty)\to (0,\infty)$를 모두 구하여라. \[\text{모든 실수 $x,y\ge 0$에 대하여, } f(x)f(y)=\max \{ f(t) : \lvert x-y\rvert \le t \le x+y\} . \]
양의 정수 $n$에 대하여 모든 $n\times n$ 복소행렬들로 이루어진 복소벡터 공간을 $M_n(\mathbb C)$라 하자. 행렬 $A\in M_n(\mathbb C)$가 $A^6-A^3+I=O$를 만족한다 (단, $I$는 단위행렬, $O$는 영행렬). 선형사상 $T:M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C)$가 $T(B)=AB$로 주어졌을 때 $T$는 대각화 가능함을 보여라.
제2분야 6번문제와 동일함.
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$인 실행력 $A$, $B$가 $xA+yB=I$ (단, $x,y$는 $0$이 아닌 실수), $AB=O$를 만족할 때, \[ \det(A+B)=\frac{1}{x^{\operatorname{rank}(A)}y^{\operatorname{rank}(B)}}\]가 성립함을 보여라.
2분야 8번문제와 동일
양의 무리수 $\alpha$에 대하여 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$을 \[ q_n=\frac{\lceil n\alpha\rceil }{n}\]로 정의하면 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$은 단조증가수열이 아님을 보여라 (단, $\lceil x\rceil$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수).
양의 정수 $n$과 함수 $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$에 대하여 \[ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)e^x}{(x-1)^{n+1}}\]를 만족하도록 다항식 $P_n(x)$를 정의하자. 이 때, $P_n(1)$과 $P_n'(1)$을 구하여라.
모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=0,\quad \lim_{n\to\infty} (e^{a_n}+e^{b_n})=2\]를 만족한다. 수열 $\{a_n\}$이 수렴함을 보여라.
양의 정수 $m$에 대하여 $A^m=O$를 만족하는 임의의 $n\times n$ 실행력 $A$는 \[ \operatorname{rank}(A)\le \frac{m-1}m n\]을 만족함을 보여라 (단, $O$는 영행렬).
다음 적분값을 구하여라. \[\int\int\int_{\mathbb R^3} e^{-3x^2-3y^2-2z^2-2xz+2yz}\, dx \,dy\,dz.\]
양의 정수 $n$ ($n\ge 2$)에 대하여 $n\times n$ 실행렬로 이루어진 실벡터 공간을 $M_n(\mathbb R)$이라 하자. 다음의 조건을 모두 만족하는 부분집합 $V$는 $M_n(\mathbb R)$과 같음을 보여라 (단, $E_{ij}$는 $i$행과 $j$영이 만나는 항만 $1$이고 나머지는 모두 $0$인 행렬).
(1) $V$는 $M_n(\mathbb R)$의 부분공간이다;
(2) $A,B\in V$이면 $AB\in V$이다;
(3) $E_{12}+E_{23}+\cdots+E_{n-1,n}\in V$이고 $E_{21}+E_{32}+\cdots+E_{n,n-1}\in V$.
함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 두 번 미분가능하고 $f(0)=0$을 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라. \[ \int_0^1 \lvert f(x)f'(x) \rvert\,dx\le \frac12 \int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2\,dx.\]
실행렬 $A$, $B$는 고유치가 모두 양수인 $n\times n$ 대칭행렬이다. 임의의 $n\times n$ 실행렬 $C$에 대해 $2n\times 2n$ 행렬 \[ \begin{pmatrix} A&C\\C^T & -B\end{pmatrix}\]는 역행렬을 가짐을 보여라. (단, $C^T$는 $C$의 전치행렬).
연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb R$는 임의의 $t\in[0,1]$와 $x,y\in [a,b]$에 대하여 \[ f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)\]를 만족한다 (단, $a\lt b$). 다음 부등식을 증명하여라. \[ f\left( \frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le \frac{f(a)+f(b)}{2}.\]