두 변 $AB$와 $AC$의 길이가 같은 이등변삼각형 $ABC$에 내접하는 원 $O$가 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $K$, $L$, $M$에서 만난다. 직선 $OL$이 $KM$과 만나는 점을 $N$이라 하고, 직선 $BN$이 변 $CA$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 점 $A$에서 직선 $BQ$에 내린 수선의 발을 $P$라 할 때, 등식 $BP = AP + 2PQ$가 성립한다고 한다. 이 때, $\frac{AB}{BC}$의 값은 어떤 값들이 있겠는가?
(2004년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

$\angle A\lt 90^\circ$인 마름모 $ABCD$의 두 대각선 $AC$, $BD$의 교점을 $M$이라고 하고, 선분 $MC$ 위의 점 $O$를 $OB\lt OC$가 되도록 잡아 $\frac{MA}{MO}=t$라 하자. 단 $O\neq M$이다. 점 $O$를 중심으로 하고 두 점 $B$, $D$를 지나는 원이 직선 $AB$와 만나는 점을 $B$, $X$ (직선 $AB$가 이 원과 접할 경우에는 $X=B$임), 직선 $BC$와 만나는 점을 $B$, $Y$라 하자. 두 직선 $DX$, $DY$가 선분 $AC$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 할때, $\frac{OQ}{OP}$를 $t$의 식으로 나타내어라.
(2003년 4월 12일, 4시간 30분, 3문제, 출처)