삼각형 $ABC$의 외접원의 중심이 $O$라 하고, 외접원에서 $B$에서 $A$를 지나 $C$로 가는 원호의 중점을 $P$라 하고 $PQ$가 외접원의 지름이 되게 $Q$를 잡자. 삼각형 $ASBC$의 내심 $I$에 대해 직선 $PI$와 $BC$의 교점을 $D$라 하자. 삼각형 $AID$의 외접원과 직선 $PA$가 점 $F$($F\neq A$)에서 만난다. 선분 $PD$위의 점 $E$가 $DE=DQ$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$이라 하자. 만일 $\angle AEF=\angle APE$이면 $\sin^2 \angle BAC=\frac{2r}{R}$임을 증명하라.
(2013년 3월 24일, 출처, 4시간 30분)
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2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제
삼각형 $ABC$의 외접원 $O$의 지름의 길이가 $2$이고, 꼭지각 $A$는 둔각이다. 점 $D$는 변 $AB$ 위의 점으로 $\overline{AD}=\overline{AC}$를 만족하는 점이고, 점 $K$는 원 $O$ 위의 점으로 선분 $AK$가 원 $O$의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 $AK$와 선분 $CD$가 점 $L$에서 만나고, 점 $D$, $K$, $L$을 지나는 원과 원 $O$가 점 $P$($\ne K$)에서 만난다고 하자. $\angle BCD=\angle BAP=10^\circ$이면 $\overline{DP}=\sin \frac{\angle BAC}{2}$임을 보여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)