삼각형  $ABC$의 외접원 $O$의 지름의 길이가 $2$이고, 꼭지각 $A$는 둔각이다. 점 $D$는 변 $AB$ 위의 점으로 $\overline{AD}=\overline{AC}$를 만족하는 점이고, 점 $K$는 원 $O$ 위의 점으로 선분 $AK$가 원 $O$의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 $AK$와 선분 $CD$가 점 $L$에서 만나고, 점 $D$, $K$, $L$을 지나는 원과 원 $O$가 점 $P$($\ne K$)에서 만난다고 하자. $\angle BCD=\angle BAP=10^\circ$이면 $\overline{DP}=\sin \frac{\angle BAC}{2}$임을 보여라.

(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)