$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 순열 중에서 서로 다른 두 항씩 자리를 바꾸는 조작을 $4$회 시행하여 $123456$을 복원할 수 있으며 $3$회 이하의 시행으로는 복원이 불가능한 순열 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$을 생각하자. 이러한 순열의 개수를 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)