서로 다른 $2005$개의 소수들로 이루어진 집합 $P$를 생각하자. 집합 $A$는 서로 다른 $1002$개의 $P$의 원소들의 곱으로 나타낼 수 있는 모든 양의 정수들의 집합이고, 집합 $B$는 서로 다른 $1003$개의 $P$의 원소들의 곱으로 나타낼 수 있는 모든 양의 정수들의 집합이다. 다음의 조건을 만족시키는 일대일 함수 $f:A\to B$가 존재함을 보여라.
(조건) 모든 $a\in A$에 대하여 $a$는 $f(a)\in B$의 약수이다.
(2005년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)