양의 정수 $n$에 대해서 방정식 \[z^n=8x^{2009}+23y^{2009}\]의 정수해가 $x=y=z=0$ 밖에 없을 때, 이러한 $n$의 최솟값을 구하여라.
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)