양의 정수 $n$에 대하여, 구간 $[0,n+1]$에서 함수 \[ f_n(x)=\left(\sum_{i=1}^n \lvert x-i\rvert\right)^2-\sum_{i=1}^n (x-i)^2\]의 최솟값을 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{11}(-1)^{n+1}a_n$의 값을 구하여라.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)