임의로 주어진 소수 $p$가 있다. 다음 조건들을 모두 만족하는 양의 정수열 $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$가, $k = 1$일 때에는 존재하지 않지만, $2$ 이상의 어떤 양의 정수 $k$ 하나에 대해서라도 존재하면, 소수 $p$를 참한 소수라고 부르자:
조건 1. 모든 $i = 1,2,\ldots,k$에 대하여 $n_i \ge\frac{p+1}{2}$.
조건 2. 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대하여 $p^{n_i} −1$은 $n_{i+1}$의 배수이고, $\frac{p^{n_i} −1}{n_{i+1}}$과 $n_{i+1}$은 서로소이다. 단, $n_{k+1} = n_1$이다.
$2$는 참한 소수가 아니지만 그 외의 모든 소수는 참한 소수임을 보여라.
(2010년 3월 28일, 출처, 4시간 30분)