가로로 $m$칸, 세로로 $n$칸, 총 $mn$칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판을 생각하자. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 $R$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 정수 $h$가 존재하면, $R$을 ‘선반’이라 하자. (단, 직사각형 $R$의 내부에 빠진 칸은 없다.)
(1) 직사각형 $R$에 속한 모든 칸에 적힌 수는 $h$보다 크다.
(2) 직사각형 $R$의 외부의 칸 중에서, $R$에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 $h$ 이하이다.
선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?
(2011년 3월 27일)