정수 $n(\ge 2)$에 대하여, 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=n$을 만족시킨다고 할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[\sum_{1\le i<j\le n} \frac{1}{n-a_i a_j} \le \frac{n}{2}.\]

(2012년 3월)