다음 명제가 성립할 최소의 양의 정수 $k$를 구하여라. 집합 $S=\{1,2,\ldots,2012\}$의 부분집합 $A$가 원소를 $k$개 가진다면, 어떤 세 원소 $x,y,z\in A$가 있어서 $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$가 되는 서로 다른 세 정수 $a, b, c\in S$가 존재한다.