소수 $p$와  1이 아닌 완전제곱수로는 나눠떨어지지 않는 짝수인 정수 $n$에서 $n$과 $p$가 서로소이고, $p\le 2\sqrt n$이며, $n+k^2$이 $p$의 배수가 되게 하는 $k$가 존재한다고 하자. 이때, $n=ab+bc+ca$가 되는 서로 다른 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 존재함을 증명하라.