양의 정수 $n$이 주어져있다. 집합 $P_n=\{2^n, 2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2, \ldots, 3^n\}$이라 하자. 집합 $P_n$의 부분집합 $X$에 대해 $S_X$를 $X$의 원소의 합이라고 하자. 단, 공집합 $\emptyset$에 대해서는 $S_\emptyset=0$이라 하자. 실수 $y$가 $0\le y\le 3^{n+1}-2^{n+1}$이라 하자. 이때 $0\le y-S_Y<2^n$인 $P_n$의 부분집합 $Y$가 존재함을 보여라.
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2012 중국수학올림피아드 6번문제
다음 명제가 성립할 최소의 양의 정수 $k$를 구하여라. 집합 $S=\{1,2,\ldots,2012\}$의 부분집합 $A$가 원소를 $k$개 가진다면, 어떤 세 원소 $x,y,z\in A$가 있어서 $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$가 되는 서로 다른 세 정수 $a, b, c\in S$가 존재한다.
2012 유럽여학생수학올림피아드 4번문제
정수들의 집합 $A$에서 임의의 원소 $a$가 어떤 두 (같을 수도 있는) 원소 $b, c\in A$의 합으로 표현될 때, 이 집합 $A$를 꽉찬 집합이라고 하자. 정수들의 집합 $A$의 유한한 공집합 아닌 부분집합의 원소의 합으로 표현할 수 없는 수가 $0$뿐일 때, 이 집합 $A$를 $0$만 못 만드는 집합이라 하자.
$0$만 못 만드는 꽉찬 정수들의 집합이 존재하는가?
(2012년 4월 12일, 첫째날, 4시간 30분동안 4문제)