주어진 정수 $n\ge 2$에 대해 다음 세 조건을 만족하는 양의 정수 $n$개의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$이 유한개밖에 없음을 증명하라.

(1) $a_1>a_2>\cdots>a_n$.

(2) $\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$.

(3) $a_1=\sum_{i=1}^n \gcd(a_i,a_{i+1})$.  (여기서 $a_{n+1}=a_1$이라 하자.)