정수 $n\ge 2$에 대해 어떤 함수 $f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\}$이 다음 조건을 만족하면 좋은 함수라 하자: 임의의 정수 $k$ ($1\le k\le n-1$)에 대해 \[f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m)\pmod{n+1}\]이 모든 정수 $m$에 대해 성립하게 하는 정수 $j(k)$가 존재한다.

좋은 함수가 몇 개나 있는지 구하여라. ($\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)