$1<m<k$이고 $1<n<k$이면서 $\gcd(m,k)=\gcd(n,k)=1$, $m+n>k$이고 $k$가 $(m-1)(n-1)$의 약수가 되도록 하는 정수 $m$, $n$이 존재할 정수 $k\ge 3$를 모두 구하시오.