$n$개의 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_n$이 주어져있다. 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $X$에 대해 \[N(X)=\{i\in \{1,2,\ldots,n\}-X : \text{모든 $j\in X$에 대해 }A_i\cap A_j\neq \emptyset\}\]이라 하자. 이때 $m$이 $3\le m\le n-2$인 정수이면,  $\lvert{X}\rvert=m$이고 $\lvert{N(X)}\rvert\neq 1$인 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $X$가 반드시 존재함을 증명하여라.

(2012년 3월 24일 오후, 4시간 30분)