실수에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$가 $2\int_0^{\frac{1}{2}} f(x)\, dx=\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)\,dx$를 만족한다. 이 때 다음 부등식이 성립합을 보여라.
\[3\int_0^1 (f'(x))^2 \,dx \ge \left( 2\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)