$[0,\infty)$에서 $[0,\infty)$로 가는 함수들의 집합 $S$가 아래 조건을 만족시킨다고 한다.
(i) $f_1(x)=e^x-1$과 $f_2(x)=\ln (x+1)$은 $S$에 들어있다.
(ii) 만일 $f(x)$와 $g(x)$가 $S$에 있다면, $f(x)+g(x)$와 $f(g(x))$ 역시 $S$에 들어있다.
(iii) 만일 $f(x)$, $g(x)$가 $S$에 있고, 모든 $x\ge 0$에 대해 $f(x)\ge g(x)$라면, $f(x)-g(x)$ 역시 $S$에 있다.
이때 $f(x), g(x)$가 $S$에 있다면 $f(x)g(x)$ 역시 $S$에 있음을 증명하라.
(2012년 12월 1일)