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개구간 $(1,12)$에서 12개의 실수 $d_1,d_2,\ldots,d_{12}$를 아무렇게나 잡더라도, $d_i$, $d_j$, $d_k$가 예각삼각형의 세 변의 길이가 되도록 세 수 $1\le i<j<k\le 12$를 잡을 수 있음을 보여라.
(2012년 12월 1일)

집합 $S$위에 정의된 이항연산 $*$이 교환법칙과 결합법칙을 만족시킨다. 모든 $x,y\in S$에 대해 $x*z=y$인 ($x,y$에 따라 변하는) $z\in S$가 존재한다고 하자. 이때 $a,b,c\in S$이고 $a*c=b*c$이면 $a=b$임을 증명하라.
(2012년 12월 1일)

연속함수 $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$가 다음 세 조건을 만족한다.
(i) 모든 $x\in [-1,1]$에 대해 $f(x)=\frac{2-x^2}{2} f\left(\frac{x^2}{2-x^2}\right) $.
(ii) $f(0)=1$.
(iii) $\lim_{x\to 1^-} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$이 존재하고 유한하다.
이때 이 $f$가 유일하게 존재함을 증명하고 $f$를 구하여라.
(2012년 12월 1일)

두 정수 $q>0$와 $r$이 주어져있고 $A$, $B$는 실수축 위에 있는 두 구간이라 하자. $b\in B$와 $m$에 의해 표현되는 모든 $b+mq$꼴의 수의 집합을 $T$라 하자. $ra\in T$가 되게 하는 모든 정수 $a$의 집합을 $T$라 하자. 이때 $A$와 $B$의 길이의 곱이 $q$보다 작다면, $A$와 어떤 등차수열과의 교집합이 정확히 $S$와 같음을 보여라.
(2012년 12월 1일)

정수를 소수 $p$로 나눈 나머지들의 집합으로 만들어진 체를 $\mathbb{R}_p$라 하자. 양의 정수 $n$과 $\mathbb{F}_p^n$에 속한 벡터 $v$가 있다고 하자. 체 $\mathbb{R}_p$의 원소로 만들어진 $n\times n$ 행렬 $M$에 대해 함수 $G:\mathbb{F}_p^n\to\mathbb{F}_p^n$을 $G(x)=v+Mx$로 정의하자. $G$를 $k$번 합성해서 얻은 함수를 $G^{(k)}$라 하자. 즉, $G^{(1)}(x)=G(x)$이고 $G^{(k+1)}(x)=G(G^k(x))$이다. $k=1,2,\ldots,p^n$에 대해 얻어지는 벡터 $G^{(k)}(0)$, 총 $p^n$개가 모두 서로 다르게 할 $p$와 $n$ 모든 쌍을 구하시오.
(2012년 12월 1일)

연속함수 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$이 있다. 만일 모든 면적이 $1$인 직사각형 $R$에 대해 $f(x,y)$를 $R$에 대해 이중적분하면 $0$이 나온다고 하자. 이때 $f(x,y)$는 항상 $0$인가?
(2012년 12월 1일)

$[0,\infty)$에서 $[0,\infty)$로 가는 함수들의 집합 $S$가 아래 조건을 만족시킨다고 한다.
(i) $f_1(x)=e^x-1$과 $f_2(x)=\ln (x+1)$은 $S$에 들어있다.
(ii) 만일 $f(x)$와 $g(x)$가 $S$에 있다면, $f(x)+g(x)$와 $f(g(x))$ 역시 $S$에 들어있다.
(iii) 만일 $f(x)$, $g(x)$가 $S$에 있고, 모든 $x\ge 0$에 대해 $f(x)\ge g(x)$라면, $f(x)-g(x)$ 역시 $S$에 있다.
이때 $f(x), g(x)$가 $S$에 있다면 $f(x)g(x)$ 역시 $S$에 있음을 증명하라.
(2012년 12월 1일)

정상적인(non-degenerate) 다면체 $P$가 주어져있다.다음 조건을 만족하는 상수 $c( P)>0$가 존재함을 증명하라: $n$개의 공으로 전체 $P$의 표면을 다 덮었을때 공의 부피의 합이 $V$라면 $n>c( P) / V^2$이다.
(2012년 12월 1일)

$2n$개의 팀이 $2n-1$일동안 토너먼트 경기를 아래처럼 한다. 매일 각 팀은 다른 어떤 팀과 정확히 한 경기를 하여 둘 중 한 팀은 이기고 다른 팀은 진다. 이 기간동안 각 팀은 다른 각 팀과 정확히 한 번씩 경기를 하였다. 매일 그 날의 승리팀을 잘 뽑되 한 팀이 두 번 뽑히지 않도록 뽑는 것이 항상 가능할까?
(2012년 12월 1일)

$a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}$ ($n=0,1,2,\ldots$)인 수열이 있다. $n\to \infty$일 때 $a_n-\log n$이 수렴하는가? (단 $\log n=\log_e n=\ln n$이다.)
(2012년 12월 1일)

유계인 두 함수 $g_1,g_2:\mathbb{R}\to [1,\infty)$에 대해 아래 성질을 만족하는 두 함수 $h_1,h_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$이 존재함을 보여라.
\[\text{모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해} \sup_{s\in \mathbb{R}} (g_1(s)^x g_2(s))=\max_{t\in \mathbb{R}} (xh_1(t)+h_2(t)).\]
(2012년 12월 1일)

$p\equiv 2\pmod 3$인 홀수인 소수 $p$가 주어져있다. 정수를 $p$로 나눈 나머지들에 대해 $\pi(x)\equiv x^3\pmod p$가 되게 순열 $\pi$를 정의하였다. 이때 $\pi$가 우순열(even permuatation)일 필요충분조건이 $p\equiv 3\pmod 4$인 것임을 증명하라.
(2012년 12월 1일)