원 위에 순서대로 7개의 점 $P_0$, $P_1$, $\ldots$, $P_8=P_0$와 그 점들로 이루어지는 다각형 $P_0 P_1\cdots P_7$ 내부에 점 $Q$를 $\angle P_{i-1}QP_i=45^\circ$가 모든 $i=1,2,\ldots,8$에 대해 만족되게 잡는다고 하자. 합 $\sum_{i=1}^8 P_{i-1}P_i^2$이 최소가 될 필요충분조건은 $Q$가 원의 중심인 것임을 증명하라.