---

1부터 360까지의 정수를 연속한 정수들의 부분집합 9개로 나누되, 각 부분집합에 들어있는 원소의 합을 $3\times 3$ 크기 표에 넣었을때 마방진이 되게 할 수 있는가? (마방진이란 각 행과 각 열, 그리고 두 대각선 각각의 합이 모두 같은 표를 뜻한다.)

실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음 부등식을 증명하라.
\[ ab+bc+ca+\max\{\lvert a-b\rvert, \lvert b-c\rvert, \lvert c-a\rvert \}\le 1+\frac{1}{3} (a+b+c)^2.\]

a) 방정식 \[ \lfloor x\rfloor (x^2+1)=x^3\]을 만족하는 실수해는 연속한 두 양의 정수 사이의 구간에는 정확히 하나밖에 없음을 보여라. ($\lfloor x\rfloor$는 $x$보다 크지 않은 정수 중 제일 큰 것을 뜻한다.)
b) 모든 양의 실수해는 유리수가 아님을 보여라.

$x$에 관한 방정식 \[x^{2012}=ax+b\]이 서로 다른 두 실수해를 갖고 그 두 실수해의 곱이 $1$이 되게 하는 순서쌍 $(a,b)$가 무한히 많음을 보여라.

모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음 식을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$를 모두 구하라.
\[ f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-xy)).\]

2012개의 등이 탁자위에 있다. 2명의 선수가 아래 게임을 한다. 자기 순서가 오면 등 중 하나를 골라 스위치 상태를 바꿔야 하는데 모든 등의 상태가 예전에 있었던 상태와 동일하게 만들 수는 없다. 규칙을 지키면서 등을 골라 상태를 바꿀 수 없는 사람이 진다. 누가 반드시 이길 수 있는 전략이 있겠는가?

가로 2012칸, 세로 2012칸인 바둑판의 제일 오른쪽 윗칸과 왼쪽 아래칸을 잇는 대각선 위의 몇 개 칸이 색칠이 되어 있는데 제일 오른쪽 윗칸과 왼쪽 아래칸은 색칠되어 있지 않다고 한다. 이 바둑판 각 칸에 아래 규칙에 따라 정수를 쓴다.
1) 제일 윗 행과 제일 왼쪽 열에는 1만 쓴다.
2) 색칠된 칸에는 0을 쓴다.
3) 1), 2) 규칙이 적용되지 않는 칸에 적힌 수는 그 칸의 윗칸과 왼쪽칸에 적힌 정수의 합과 같게 한다.
이때 제일 오른쪽 아래에 적힌 수는 2011의 배수가 될 수 없음을 보여라.

각 선에 방향이 지정되어 있는 어떤 그래프(유향그래프)가 있다. 이 그래프의 어느 꼭지점에서 출발하더라도 선의 방향을 따라 이동해면 지났던 꼭지점으로 되돌아올 수 없다고 한다. 한편 이 그래프의 선의 수가 99를 넘지 않는다고 할 때 이 그래프의 선을 빨강색 혹은 파랑색으로 잘 칠하여, 아래 성질을 만족하게 할 수 있음을 보여라.
한 꼭지점에서 출발해서 같은 색으로 칠해진 선만 이용해서 선의 방향을 따라 이동하면 많아야 9번밖에 이동할 수 없다.

가로 5칸, 세로 5칸 바둑판의 각 칸에 0을 써두었다. 임의의 칸을 골라 그 칸과 그 칸과 변을 공유하고 있는 인접한 칸들의 수에 각각 1을 더하는 조작을 할 수 있다고 하자. 이 조작을 통해 모든 칸이 동시에 2012가 되게 할 수 있는가?

두 사람 A, B가 아래 게임을 한다. 게임 시작 전에 A는 1000개의 홀수인 소수를 고른다. (같은 수를 여러번 고를 수도 있다.) B는 A가 고른 수를 보고 그 중 절반을 골라 칠판에 적는다. 게임을 할 때 자기 순서가 되면 양의 정수 n을 하나 골라 칠판에 적힌 $n$개의 소수 $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$을 지우고 대신에 $p_1p_2\cdots p_n-2$의 모든 소인수들로 바꿔쓴다. (단 어떤 소수가 $p_1p_2\cdots p_n-2$의 소인수분해에서 여러번 나타나면 그 횟수만큼 반복해서 적는다.)
A가 먼저 게임을 시작하며 돌아가면서 게임을 하되 칠판에 수가 없어지게 만드는 사람이 진다고 한다. 누가 반드시 이길 수 있는 전략이 있는가?
(1은 소인수가 없으므로 자기 차례에 3 하나를 지우는 것은 괜찮다.)

$\angle A=60^\circ$인 삼각형 $ABC$가 있다. 이 삼각형의 내부에 $\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^\circ$가 되게 점 $T$를 잡았다. 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 이때 $TA+TB+TC=2AM$임을 증명하라.

원 위에 순서대로 7개의 점 $P_0$, $P_1$, $\ldots$, $P_8=P_0$와 그 점들로 이루어지는 다각형 $P_0 P_1\cdots P_7$ 내부에 점 $Q$를 $\angle P_{i-1}QP_i=45^\circ$가 모든 $i=1,2,\ldots,8$에 대해 만족되게 잡는다고 하자. 합 $\sum_{i=1}^8 P_{i-1}P_i^2$이 최소가 될 필요충분조건은 $Q$가 원의 중심인 것임을 증명하라.

예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발이 외접원과 만나는 다른 점을 각각 $H_A$, $H_B$, $H_C$라 하자. 삼각형 $H_A H_B H_C$의 넓이는 삼각형 $ABC$의 넓이를 넘지 않음을 보여라.

삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 선분 $DE$의 중점을 $G$라 할때 $\angle EFC=\angle GFD$임을 증명하라.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 외접원의 중심 $O$가 사각형 $ABCD$ 내부에 있지만 대각선 $AC$ 위에는 없다고 한다. 이 사각형의 두 대각선이 만나는 점을 $I$라 하자. 삼각형 $AOI$의 외접원이 변 $AD$와 $AB$를 각각 점 $P$, $Q$에서 만난다고 하자. 삼각형 $COI$의 외접원이 변 $CB$와 $CD$를 각각 점 $R$, $S$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $PQRS$는 평행사변형임을 증명하라.

양의 정수 $n$, $m$, $k$가 $(n-1)n(n+1)=m^k$을 만족시킨다고 한다. 이때 $k=1$임을 증명하라.

양의 정수 $n$의 양의 약수의 개수를 $d(n)$이라 하자. 등식 \[ n^{d(n)}-1=p^k\]을 만족시키는 양의 정수 $n$, $k$와 소수 $p$의 순서쌍 $(n,k,p)$를 모두 구하여라.

등식 $a^2+b^2+c^2=20122012$를 만족시키는 모든 정수해 $(a,b,c)$를 구하여라.

식 $n^n+(n+1)^{n+1}$이 합성수가 되게 하는 양의 정수 $n$이 무한히 많음을 증명하라.

등식 $2x^6+y^7=11$을 만족시키는 모든 정수해를 구하여라.