삼각형 $ABC$ 안에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 만일 삼각형 $APF$, 삼각형 $BPD$, 삼각형 $CPE$의 넓이가 모두 같다면 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심임을 증명하라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)