$a_1=1$이고 모든 $n\ge1$에 대해 \[a_{n+1}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+1\]인 수열 $a_1,a_2,\ldots$이 주어져있다. 이때 임의의 양의 실수 $\beta$에 대해 $\alpha_k \lt \beta k$인 k가 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)