양의 정수 $a$에 대해 $x_1=a$이고 $n\ge 1$일 때 $x_{n+1}=2x_n+1$이 되는 수열 $x_1,x_2,\ldots$에 대해 $y_n=2^{x_n}-1$이라 하자. 이때 어떤 양의 정수 $a$에 대해 $y_1,y_2,\ldots,y_k$가 모두 소수가 되는 $k$ 중 최대값은 얼마인가?
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)