정수 $k\ge 2$에 대해 $a_1=1$이라 하고 모든 정수 $n\ge 2$에 대해 $x>a_{n-1}$이면서 \[ x=1+\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}} \right\rfloor \]인 $x$중 가장 작은 것을 $a_n$이라 하자. 수열 $a_1,a_2,\ldots$에는 모든 소수가 나타남을 증명하라.
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)