원 $\omega$에 내접한 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고 직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만나며 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $R$에서 만난다. 선분 $PQ$의 중점을 $M$이라 하고 선분 $MR$과 원 $\omega$가 만나는 점을 $K$라 하자. 삼각형 $KPQ$의 외접원과 원 $\omega$가 한 점에서 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)