소수 $p$와 양의 정수 $a$, $k$가 $p^a \lt k \lt 2p^a$를 만족한다고 하자. 이때 $n\lt p^{2a}$이고 $\binom{k}{n}$, $n$, $k$를 각각 $p^a$로 나눈 나머지가 모두 같게 하는 양의 정수 $n$이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 25일, 출처, 4시간 30분)