모든 양의 유리수의 집합을 $\mathbb Q_{>0}$라 하자. 어떤 함수 $f:\mathbb Q_{>0} \to\mathbb{R}$가 다음의 세 조건을 모두 만족한다고 하자:
(i) 모든 $x,y \in\mathbb Q_{>0}$에 대하여, $f(x)f(y) \ge f(xy)$이다.
(ii) 모든 $x, y \in\mathbb Q_{>0}$에 대하여, $f (x + y)\ge f (x) + f (y)$이다.
(iii) $f(a) = a$를 만족하는 $1$보다 큰 유리수 $a$가 존재한다.
이때, 모든 $x \in \mathbb Q_{>0}$에 대하여 $f(x) = x$임을 증명하여라.
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)