함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$이 $f(1)=1$이고 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n+1)=f(n)+2^{f(n)}$을 만족한다. 이때 $f(1),f(2),\ldots,f(3^{2013})$을 $3^{2013}$으로 나눈 나머지는 서로 다르다는 것을 증명하라.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)