함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$이 $f(1)=1$이고 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n+1)=f(n)+2^{f(n)}$을 만족한다. 이때 $f(1),f(2),\ldots,f(3^{2013})$을 $3^{2013}$으로 나눈 나머지는 서로 다르다는 것을 증명하라.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
태그 보관물: 나머지
2013 캐나다수학올림피아드 2번문제
$a_1,a_2,\ldots,a_n$을 $1,2,\ldots,n$의 순열이라 하자. 총 $n+1$개의 수 $0$, $a_1$, $a_1+a_2$, $a_1+a_2+a_3$, $\ldots$, $a_1+a_2+\cdots+a_n$을 각 $n+1$으로 나눴을때 나머지가 모두 서로 다르게 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 5번문제
$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.
$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.
$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)
2011 미국수학올림피아드 4번문제
다음을 증명하거나 반례를 찾으시오.
모든 양의 정수 $n\ge 2$에 대해, $2^{2^n}$을 $2^n-1$로 나눈 나머지는 $4$의 거듭제곱꼴이다.