원 $O$에 내접하는 $\triangle ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위의 꼭지점이 아닌 임의의 점 $D$, $E$, $F$를 각각 잡고, 선분 $AD$, $BE$, $CF$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이라고 할 때 \[ \frac{AD}{PD}+\frac{BE}{QE}+\frac{CF}{RF}\ge 9\]임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우의 삼각형의 모양과 점 $D$, $E$, $F$의 위치를 밝혀라.