$a+b+c=abc$를 만족시키는 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le \frac{3}{2}\]임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라.