어느 수학경시대회의 채점결과 다음과 같은 세 가지 사실을 관찰하였다.
(i) 전체 문항 수는 $n$이다. 단 $n\ge4$.
(ii) 각 문항은 정확히 네 명의 학생이 풀었다.
(iii) 어떤 두 문항에 대하여도, 이를 모두 푼 학생은 꼭 한 명뿐이다.
이 경시대회에서 어떤 경우에도 모든 문항을 다 푼 학생이 항상 존재하기 위한 $n$의 최소값을 구하여라. 단, 이 경시대회에 참가한 학생수는 $4n$명 이상이라고 가정한다.