양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 서로 다른 양의 실수 $b_1,b_2,\ldots,b_n$에 대하여 $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$, $T=b_1b_2\ldots b_n$이라 하자. 단, $n\ge 2$.
(1) 다항식 $f(x)=(x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_n)\sum_{j=1}^n \frac{a_j}{x-b_j}$의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.
(2) 부등식 \[\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n \left(1-\frac{a_j}{S}\right)b_j \gt \left\{\frac{T}{S} \sum_{j=1}^n \frac{a_j}{b_j}\right\}^{\frac{1}{n-1}}\]을 증명하여라.