수열 $a_1,a_2,\ldots,a_k$가 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대해 $a_i\in \{0,1,2,3\}$을 만족한다. 어떤 $4^k-1$보다 작은 음 아닌 정수 $z$의 4진법 표기를 $z=(x_k,x_{k-1},\ldots,x_1)_4$라고 할 때, \[ p(z)=\sum_{i=1}^k a_i x_i 4^{k-1}\]이라 하자. 집합 $A$를 \[A=\{z \colon p(z)=z, z=0,1,2,\ldots,4^i-1\} \]이라고 정의하자. 이때 $\lvert A\rvert$는 $2$의 지수꼴 형태로 표현된다는 것을 증명하라.