양의 정수로 이루어진 수열 $\{a_i\}$가 점화식 $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ ($i\ge 1$)을 만족할 때, 양의 정수 $n$에 대하여 \[ b_n=\frac1{a_{2n+1}}\sum_{i=1}^{4n-2} a_i\]라 하자. 수열 $\{b_n\}$의 모든 항이 양의 정수임을 보이고, 이 수열의 일반항을 구하여라.