다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$을 모두 구하여라.
임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(mn)=\operatorname{lcm}(m,n)\cdot \gcd(f(m),f(n))$이다.
(단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이고 $\operatorname{lcm}(m,n)$과 $\gcd(m,n)$은 각각 $m$, $n$의 최소공배수와 최대공약수이다.)