양의 정수 $k$에 대하여, 정수로 이루어진 수열 $\{b_n\}$과 $\{c_n\}$이 다음과 같이 주어진다. \[ b_1=1, \quad b_{2n}=kb_{2n-1}+(k-1)c_{2n-1},\quad b_{2n+1}=b_{2n}+(k-1)c_{2n},\]\[ c_1=1,\quad c_{2n}=b_{2n-1}+c_{2n-1},\quad c_{2n+1}=b_{2n}+kc_{2n} \quad (n\ge 1)\] 양의 정수 $k$에 대하여 얻어진 $b_{2014}$를 $a_k$라 할 때 \[ \sum_{k=1}^{100}\left( a_k-\sqrt{a_k^2-1}\right)^\frac{1}{2014}\]를 구하시오.