단위원소(unit element)가 있는 $C^*$-대수 $\mathcal A$가 있다. 이 원소 중 양인 원소로 원뿔(cone)을 $\mathcal A_+$라 하자. (즉, $\mathcal A_+$은 $\mathcal A$의 self adjoint한 원소 중 spectrum이 $[0,\infty)$에 있는 것의 집합이다.) 이때 아래 연산을 생각하자. \[ x\circ y=\sqrt{x} y\sqrt{x}, \quad x,y\in \mathcal A_+.\] 이때 모든 $x,y\in \mathcal A_+$에 대해 \[ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y),\]가 된다면 $\mathcal A$에는 교환법칙이 성립한다.