모든 점에서 불연속이면서 임의의 $x,y\in (0,\infty)$와 임의의 유리수 $\alpha$에 대해 \[ f\left( \left(\frac{x^\alpha+y^\alpha}{2}\right)^{\frac{1}{\alpha}}\right)\le \left( \frac{ f(x)^\alpha+f(y)^\alpha}{2}\right)^{\frac{1}\alpha}\]이 성립하는 함수 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$가 존재함을 증명하라.