실수 $a_0,a_1,\ldots,a_n$과 $0\lt x\lt 1$인 $x$가 \[ \frac{a_0}{1-x}+\frac{a_1}{1-x^2}+\cdots+\frac{a_n}{1-x^{n+1}}=0\]을 만족시킨다고 한다. 이때 \[a_0+a_1y+\cdots+a_n y^n=0\]이면서 $0\lt y\lt 1$인 실수 $y$가 존재함을 보여라.