$AB\gt AC$인 예각삼각형 $ABC$의 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 점 $B$, $C$, $F$, $E$가 한 원 위에 있도록 변 $AC$와 변 $AB$ 각각에 점 $F$와 $E$가 주어져있다. 이때 삼각형 $DEF$의 외심과 삼각형 $ABC$의 내심이 같을 필요충분조건은 $BE+CF=BC$임을 증명하라.