양의 정수의 집합 $\mathbb N$에 대해 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$은 유일하게 존재함을 증명하고 모든 $1$보다 큰 정수 $m$에 대해 $f(2^m)$ 값을 결정하라.
(i) $f(1)=f(2)=1$.
(ii) 모든 $n=3,4,\ldots$에 대해 $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))$.